Viaggio Di Un Treno Gravitazionale Da Un Capo All'Altro Della Terra

Dalla Rete

"Viaggio di un treno gravitazionale da un capo all'altro della Terra"??? Sì, passando per il centro, andata e ritorno.

Non mi ha dato di volta il cervello, state tranquilli! L'articolo mi è stato ispirato da un post di Sandro Ciarlariello sul suo blog "Quantizzando", dal titolo "Treno per autostoppisti galattici".

E' evidente il riferimento del titolo appena citato a "Guida galattica per gli autostoppisti" (1979), il primo romanzo dell'omonima "trilogia in cinque parti" di fantascienza umoristica scritta da Douglas Adams.

Ma non divaghiamo e torniamo al nostro treno! Sarete sicuramente curiosi di sapere se è davvero possibile per un treno attraversare, da un capo all'altro, il nostro pianeta, vero? La risposta è negativa, ovviamente.

Non ci sono, infatti, a disposizione materiali in grado di resistere alle condizioni di pressione e temperatura esistenti all'interno della Terra.
Il valore della temperatura, al confine del nucleo interno, è stimato essere di circa 5430 °C (5700 K), e la pressione da circa 330 a 360 gigapascals (da 3,3 milioni a 3,6 milioni di atm). Valori impressionanti per le nostre possibilità tecnologiche.

Altro problema sarebbe l'attrito.

E' vero che esistono i maglev, treni a levitazione magnetica, che viaggiano senza toccare le rotaie e in grado, quindi, di ridurre la perdita di energia meccanica per strofinamento, ma rimarrebbe sempre il problema dell'aria.
Eliminarla da un ipotetico tunnel, che attraversasse il pianeta da un capo all'altro, costerebbe una potenza addizionale rilevante. Quindi, nell'impossibilità di eliminare l'aria, la dissipazione per attrito aumenterebbe con il quadrato della distanza!

Ma, immaginiamo, per un istante, di riuscire a scavare il nostro ipotetico tunnel rettilineo privo di aria, che attraversa la Terra da un capo all'altro, e vediamo come viaggerebbe il nostro altrettanto ipotetico treno.

Guardate bene l'applet di GeoGebra che ho realizzato, dove la sferetta blu rappresenta il nostro treno.



Una volta imboccato il tunnel, non ci sarebbe nulla a contrastare la corsa del treno verso l'altro capo del tunnel medesimo, ed esso sarebbe accelerato dalla forza di gravità esercitata dal nucleo terrestre. In poche parole, il treno "cadrebbe" con velocità crescente verso il centro del pianeta, raggiunto il quale continuerebbe a cadere verso l'altro capo del tunnel a causa della velocità raggiunta, che è massima al centro.

Immagine da Wikipedia

Man mano che il treno si allontana, la sua velocità diminuisce con l'aumentare della distanza dal centro, sempre a causa dell'attrazione gravitazionale esercitata da questo, fino a quando, raggiunta la superficie, all'altro capo, con velocità nulla, il treno riprecipita giù verso il centro del pianeta.

Il moto del nostro treno gravitazionale è assimilabile a quello di un oscillatore armonico, ovvero il moto di una molla elastica.
Ve lo ricordate il moto armonico, vero ragazzi di 3°B? Non è passato tanto tempo da quando lo abbiamo studiato!

Penso che cominci ad essere comprensibile come un treno gravitazionale, nella realtà, non possa essere realizzato.

Eppure questa idea è vecchia di oltre 4 secoli. Il primo a concepirla potrebbe essere stato il fisico inglese Robert Hooke (contemporaneo di Sir Isaac Newton), che svolse esperimenti sorprendenti con le molle. Hooke fu professore al Gresham College e ha lasciato un contributo significativo alla fisica, l'astronomia e la biologia come brillante matematico e prodigioso inventore.
 
In una sua corrispondenza con Newton, Hooke spiegava come un corpo si potesse muovere all'interno di un pianeta, se non ci fosse alcuna resistenza opposta al moto stesso. Nel 19° secolo, l'Accademia delle Scienze di Parigi ricevette un serio progetto di treno gravitazionale (poi rinviato).

Di seguito un disegno originale del Gravity Train Project:

E la soluzione matematica sulla pagina web di Alexandre Eremenko, alla Purdue University.

Il fatto che la gravità faccia comportare un treno gravitazionale come un oscillatore armonico trova una giustificazione teorica nel Teorema del Guscio Sferico di Newton (o Shell Theorem in inglese).

Tale teorema si compone, in modo semplificato, di due affermazioni:

1. La forza di gravità, al di fuori di una sfera omogenea, agisce come se tutta la sua massa fosse nel centro.

2. La forza di gravità all'interno di una sfera omogenea è zero.

Qui è disponibile la dimostrazione di Newton della seconda affermazione.

Nel secolo successivo, il treno gravitazionale divenne anche parte dei libri di testo di meccanica elementare.

La stessa idea fu proposta nel 1893, senza calcoli, da Lewis Carroll in "Sylvie and Bruno Concluded".

Nel 1960, il fisico Paul Cooper pubblicò un documento, che proponeva l'idea di un progetto per il trasporto futuro, nel Journal of Physics (Time Magazine, 11 febbraio, 1966, p.42). 

Il concetto di treno gravitazionale è ricco di curiosità matematiche:

- su un determinato pianeta, un treno gravitazionale, viaggiante al suo interno in un tunnel rettilineo, impiegherebbe esattamente lo stesso tempo per completare un viaggio, indipendentemente da dove si trovino in superficie il punto iniziale e quello finale della sua traiettoria. Per la Terra, tale intervallo temporale avrebbe la durata di 42 minuti e 12 secondi, se essa fosse una sfera perfetta e di densità uniforme.

- Il tempo di un viaggio dipende solo dalla densità del pianeta e dalla costante gravitazionale (tranne quando viaggia ad una proporzione significativa della velocità della luce).

- La velocità massima verrebbe raggiunta nel punto centrale della traiettoria. Per il nostro treno, passante per il centro della Terra, la velocità massima sarebbe di circa 7900 metri al secondo (28440 mila chilometri orari).

- Il più breve tunnel attraverso la Terra, immaginata omogenea,  è un'ipocicloide.

E, per concludere, un video sul treno gravitazionale: